Opgave 10

Vi kalder punktet præcist i midten af rebet for M, og punktet hvor rebet forlader trissen for T.

Graphics[{
Circle[{1,1}],
Circle[{5,1}],
Text[Style[A,Medium],{-0.2,1}],
Text[Style[b,Medium],{3.5,1.4}],
Text[Style["ϕ",Medium],{4.7,1.15}],
Text[Style[B,Medium],{6.2,1}],
Text[Style[C,Medium],{5.2,1}],
Text[Style[M,Medium],{3,0.8}],
Text[Style[T,Medium],{9/2,1+Sin[Pi / 3]+0.2}],
PointSize[Large],Point[{{0,1}, {1,1}, {5,1}, {3,1}, {9/2,1+Sin[Pi / 3]}}],
Black, Line[{{0,2.3},{0,1}}],
Black, Line[{{6,-0.3},{6,1}}],
Black, Line[{{3/2,1-Sin[Pi / 3]},{9/2,1+Sin[Pi / 3]}}],
Dashed, Blue, Line[{{5,1},{9/2,1+Sin[Pi / 3]}}],
Dashed,Blue, Line[{{1,1},{5 ,1}}]
}, GridLines->{Table[i,{i,0,10}],Table[i,{i,0,10}]}, GridLinesStyle->Directive[Orange,Dashed]] /. {a->41}

Trekanten TCM er retvinklet, og b er derfor givet ved Pythagoras: Sqrt[4 a^2-a^2] = Sqrt[3] a
Vinklen ϕ fås ved Cos[ϕ] * 2 = 1 => Cos[ϕ] = 1/2 => ϕ = 1/3 π
Vi får rebets samlede længde L udspændt mellem punkterne A og B til:
2 L =  π - 1/3 π + Sqrt[3] => L = 4/3 π + 2*Sqrt[3]

Opgave 20

Graphics[{
Text[Style["a",Large],{-5,20}],
Text[Style["2a",Large],{40,-4}],
Text[Style["2a-b",Large],{16,44}],
Text[Style[b,Large],{50,44}],
EdgeForm[Thin],Red,Rectangle[{0,0},{2 a,a}],
Dashed,Blue, Line[{{0,0},{2 a,a}}],
Dashed,Blue, Line[{{0,0},{Sin[ArcTan[3/4]]*2 a, Cos[ArcTan[3/4]]*2 a}}],
Dashed,Blue, Line[{{Sin[ArcTan[3/4]]*2 a, Cos[ArcTan[3/4]]*2 a},{2 a,a}}],
Dotted,Black, Line[{{3/4*a,a}, {5/4*a,0}}],
Text[Style["x",Large],{38,30}],
Text[Style["c",Large],{58,26}]
}] /. {a->40}

Arealet udspændt af trekanten (2a-b) og a lagt sammen med det dobbelt af arealet udspændt af trekanten x og c må være halvdelen af rektanglets areal, dvs. a^2.
Vha. Pythagoras fås: c=1/2 Sqrt[5] a og x = Sqrt[b^2 - 5/4 a^2]. Vi løser ligningen for arealet a^2:

Solve[1/2(2 a - b)a+Sqrt[5]/2*a*Sqrt[b^2-5/4a^2]==a^2,b]

Heraf finder vi, da x = Sqrt[b^2 - c^2] = Sqrt[25/16 a^2 - 5/4 a^2]

Sqrt[25/16a^2-5/4a^2]

Det søgte areal er x*c

Sqrt[5]/4*1/2 Sqrt[5]*40^2

Løsningen kan også findes ved symmetribetragtning over vinkler, da trekanten x-b-c må være ligedannet med trekanten a-2a-2c, og derfor må c = 2*x, x kan som før findes vha Pythagoras, og samme resultat opnås.